第一篇：向量证明重心
向量证明重心
三角形abc中，重心为o，ad是bc边上的中线，用向量法证明ao=2od
(1)=12b，ac=12c。ad是中线则ab+ac=2ad即12b+12c=2ad，ad=6b+6c;bd=6c-6b。od=xad=6xb+6xx。(2).e是ac中点。作df//be则ef=ec/2=ac/4=3c。平行线分线段成比od/ad=ef/af即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3)=2b+2c，ao=ad-od=4b+4c=2(2b+2c)=2od。
2
设bc中点为m∵pa+pb+pc=0∴pa+2pm=0∴pa=2mp∴p为三角形abc的重心。上来步步可逆、∴p是三角形abc重心的充要条件是pa+pb+pc=0
3
如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1
设三角形abc的三条中线分别为ad、be、cf，求证ad、be、cf交于一点o，且ao：od=bo：oe=co：of=2：1
证明：用归一法
不妨设ad与be交于点o，向量ba=a,bc=b,则ca=ba-bc=a-b
因为be是中线，所以be=(a+b)/2,向量bo与向量be共线，故设bo=xbe=(x/2)(a+b)
同理设ao=yad=(y/2)(ab+ac)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b
在三角形abo中，ao=bo-ba
所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b
因为向量a和b线性无关，所以
-y=x/2-1
y/2=x/2
解得x=y=2/3
所以a0：ad=bo：be=2：3
故ao：od=bo：oe=2:1
设ad与cf交于o',同理有ao’：o'd=co':o'f=2:1
所以有ao:od=ao':o'd=2:1,注意到o和o’都在ad上，因此o=o’
因此有ao：od=bo：oe=co:of=2:1
证毕!
4
设三角形abc的顶点a,b,c的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，(x3,y3)证明：三角形abc的重心(即三条中线的交点)m的坐标(x,y)满足：x=x1+x2+x3/3y=y1+y2+y3/3
设:ab的中点为d.∴dx=(x1+x2)/2，又m为三角形的重心,∴cd=3md,∴x3-(x1+x2)/2=3===>x=(x1+x2+x3)/3同理:y=(y1+y2+y3)/3
5
如图。设ab=a(向量)，ac=b,ad=(a+b)/2,ao=tab=ta/2+tb/2.
be=b/=a+sbe=(1-s)a+sb/2.
t/2=1-s,t/2=s/2.消去s.t=2/=(2/3)=(1/3)ab,ao=2od.
如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1
设三角形abc的三条中线分别为ad、be、cf，求证ad、be、cf交于一点o，且ao：od=bo：oe=co：of=2：1
证明：用归一法
不妨设ad与be交于点o，向量ba=a,bc=b,则ca=ba-bc=a-b
因为be是中线，所以be=(a+b)/2,向量bo与向量be共线，故设bo=xbe=(x/2)(a+b)
同理设ao=yad=(y/2)(ab+ac)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b
在三角形abo中，ao=bo-ba
所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b
因为向量a和b线性无关，所以
-y=x/2-1
y/2=x/2
解得x=y=2/3
所以a0：ad=bo：be=2：3
故ao：od=bo：oe=2:1
设ad与cf交于o',同理有ao’：o'd=co':o'f=2:1
所以有ao:od=ao':o'd=2:1,注意到o和o’都在ad上，因此o=o’
因此有ao：od=bo：oe=co:of=2:1
证毕!
第二篇：向量与三角形的重心
向量与三角形的重心
????????????例1 已知a，b，c是不共线的三点，g是△abc内一点，若ga?gb?gc?0．求
证：g是△abc的重心．
????????????????????????证明：如图1所示，因为ga?gb?gc?0，所以ga??(gb?gc)．
????????????????????以gb，gc为邻边作平行四边形bgcd，则有gd?gb?gc，
????????所以gd??ga．
????????又因为在平行四边形bgcd中，bc交gd于点e，所以be?ec，
????????????????ge?ed．所以ae是△abc的边bc的中线，且ga?2ge．
故g是△abc的重心．
点评：①解此题要联系重心的性质和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．
变式引申：已知d，e，f分别为△abc的边bc，ac，ab的中点．求证： ????????????ad?be?cf?0．
证明：如图2的所示，
????????????????????????????????????????????ad?ac?cd????????????????2ad?ac?ab?cd?bd，即2ad?ac?ab． ad?ab?bd??
????????????????????????同理2be?ba?bc，2cf?ca?cb．(请收藏好 范 文，请便下次访问：)
?????????????2a(d?be?c)f?a?c
????????????0?c?f?ad?be． ????????????????．?ab?ba?b0c? ca?cb????????
点评：该例考查了三角形法则和向量的加法．
例2 如图3所示，△abc的重心为g，o为坐标原点，
????????????????oa?a，ob?b，oc?c，试用a，b，c表示og．
解：设ag交bc于点m，则m是bc的中点，
????????????b?aab?ac?bc?c?b．则，c?a，
?????1??????1??1?am?abb?c?a?(c?b)?(c?b?2a)． 222
??????21????aga(c?b?2a．
) 33
????????????11故og?oa?ag?a?(c?b?2a)?(a?b?c)． 33
点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．
变式引申：如图4，平行四边形abcd的中心为o，
????1????????????????p为该平面上任意一点，则po?(pa?pb?pc?pd)． 4
?????????????????????????????????????po?pa?ao，po?pb?bo，po?pc?co，证法1：
????????????po?pd?do，
?????????????????p?bp?c pd?4po?pa，???? ????1????????????????即po?(pa?pb?pc?pd)． 4
????1????????????1????????证法2：?po?(pa?pc)，po?(pb?pd)， 22
????1?????????????????po?(pa?pb?pc?pd)． 4
点评：（1）证法1运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．
????????????????（2）若p与o重合，则上式变为oa?ob?oc?od?0．
第三篇：三角形重心向量性质的引申及应用
三角形重心向量性质的引申及应用
新化县第三中学肖雪晖
平面向量是高中数学实验教材中新增的一章内容．加入向量，一些传统的中学数学内容和问题就有了新的内涵．在数学教学中引导学生积极探索向量在中学数学中各方面的应用，不仅可深人了解数学教材中新增内容和传统内容的内部联系，构建合理的数学知识结构，而且有利于拓展学生的想像力，激发创新活力，显现出向量作为一个工具在数学中的重要性．下面就向量与三角形的重心关系加以引申和应用．
三角形重心向量形式的充要条件：设o为?abc所在平面上一点，o为?abc的重
?????????????心?oa?ob?oc?0
证明：先证必要性：
????????????????????如图1以ob,oc为邻边作平行四边形obdc,则od?ob?oc.
?????????????????????????????????又oa?ob?oc?0，则ob?oc??oa，所以?oa?od,
o为ad的中点，且a、o、d共线.
又e为od的中点,因此，o是中线ae的三等分点，且oa?2ae 3
即o为?abc的重心.
再证充分性:设bo、oc与ac、ab分别交于f、g点，则由三角形的中线公式可得， ?????????????ae?bf?cg?0
????2????????2????????2????又o为?abc的重心，得ao?ae,bo?bf,co?cg 333
?????????????所以oa?ob?oc?0
引申1若o为?abc内任一点，则有
?????????????s????0
?????????????????????????证明：如图2,设oa1??1oa,ob1??2ob,oc1??3oc,
?????????????且o为?abc的重心，则?1oa??2ob??3oc?0
且s?aob?s?boc?s?aoc,记为s,那么，
s?oab
s1oa?obsin?aob1??.??12oa1?ob1sin?aob2
s即s?
aob??1?2.
同理可得s?obc?s
?2?3，s?oac?s?1?3.
?????????????所以?1:?2:?3?s?obc:s?oac:s?oab.则s????0
引申2如图3,已知点g是?abc的重心，过g作直线与ab、ac两边分别交于m、n ?????????????????11两点，且am?xab,an?yac,则??3 xy
?????????????证明：点g是?abc的重心，知ga?gb?gc?0,
??????????????????????????????1???得?ag?(ab?ag)?(ac?ag)?0有ag?(ab?ac) 3
又m、n、g三点共线（a不在直线am上）,于是存在?,?，使得
??????????????????????????????1???ag??am??an)(且????1),有ag??xab??yac?(ab?ac) 3
?????111???3 得?于是得1xy?x??y??3?运用引申1、引申2可以解决许多数学问题，使解题过程简单。
例1. 设设o为?abc所在平面上一点，角a、b、c所对边长分别为a,b,c则o为?abc
??????????????的内心的充要条件为：aoa?bob?coc?0
证明：必要性，由o为?abc的内心，得o到?abc三边的距离相等，记为r, 则s?oab?111111ab?r?cr,s?obc?bc?r?ar,s?oac?ac?r?br, 222222
所以s?oab:s?obc:s?oac?c:a:b
???????????????????????????由引申1得s?oab?oc?s?obc?oas?oac?ob?0，即aoa?bob?coc?0
???????????????????????????充分性：由aoa?bob?coc?0及s?oab?oc?s?obc?oas?oac?ob?0，
得s?oab:s?obc:s?oac?c:a:b
设o到?abc三边的距离分别为r1,r2,r3, 则s?oab?111cr1,s?obc?ar2,s?oac?br3, 222
所以ar1:br2:cr3?a:b:c,
可得r1?r2?r3,即o为?abc的内心。
??????????????所以o为?abc的内心的充要条件为：aoa?bob?coc?0
例2.已知在?abc中，过重心g的直线交ab于p, 交ac于q,设?apq的面积为s1，
?????????????????abc的面积为s2，且ap?ppb,aq?qqc,则
（1）pq?_______________ p?q
（2）s1的取值范围是_________________ s2
????????11appaqq???3 解析：（1）因为,?,由引申2得pqab1?pac1?q
1?p1?q
即1?p1?q11pq??3，推出??1,所以?1,故填1. pqpqp?q
（2）由题可知s2ab?ac(1?p)(1?q)1????2. s1ap?aqpqpq
11?411s94s1pq21?()?,所以2<2?,即?1?,故填[,). 由0<92pq24s149s22
运用引申1、2，还可以轻松解答下列问题.
?????????????1. 已知点o为?abc内一点，且存在正数?1,?2,?3使?1oa??2ob??3oc?0
设?aob,?aoc的面积分别为s1,s2,求s1:s2.
?????????????2. 已知点p是?abc内一点，且满足pa?2pb?3pc?0，求?abp与?abc的面积的
比.
?????????????3. 已知点o在?abc内部且满足oa?2ob?3oc?0,求?abc与凹四边形aboc的
面积的比.
第四篇：三角形外心、重心、垂心的向量形式
三角形外心、重心、垂心的向量形式
已知△abc，p为平面上的点，则
(1)p为外心
(2)p为重心
(3)p为垂心
证明 (1)如p为△abc的外心(图1)，
则 pa=pb=pc，
(2)如p为△abc的重心，如图2，延长ap至d，使pd=pa，设ad与bc相交于e点．
由重心性质
∴ 四边形pbdc为平行四边形．
bc和pd之中点．
心．
(3)如图3，p为△abc的垂心
同理pa⊥ac，故p为△abc之垂心．
由上不难得出这三个结论之间的相互关系：
∴ △abc为正三角形．
∴ △abc为正三角形，且o为其中心．
第五篇：向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合
（1）oa?ob?oc?0?o是?abc的重心.
证法1：设o(x,y),a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3)
?(x1?x)?(x2?x)?(x3?x)?0?
?(y1?y)?(y2?y)?(y3?y)?0
oa?ob?oc?0?
x1??x?????
?y?y1???
x2?x33y2?y33
?o是?abc的重心.
证法2：如图
?oa?ob?oc ?oa?2od?0
?ao?2od
?a、o、d三点共线，且o分ad
为2：1
?o是?abc的重心
bdc
（2）oa?ob?ob?oc?oc?oa?o为?abc的垂心.
证明：如图所示o是三角形abc的垂心，be垂直ac，ad垂直bc， d、e是垂足.
oa?ob?ob?oc?ob(oa?oc)?ob?ca?0 ?ob?ac
同理oa?bc，oc?ab
?o为?abc的垂心
（3）设a,b,c是三角形的三条边长，o是?abc的内心
aoa?bob?coc?0?o为?abc的内心.
证明：?
?
abc?
ab
acac方向上的单位向量， 分别为ab、cb
acb
平分?bac,
abc?acb
?ao??()，令??
bca?b?c
?ao?
bca?b?c
（
abc
?
acb
)
化简得(a?b?c)oa?bab?cac?0
?aoa?bob?coc?0
（4
???o为?abc的外心。
典型例题：
例1：o是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点p满足
op?oa??(ab?ac)，???0,??? ，则点p的轨迹一定通过?abc的（）
a．外心b．内心c．重心d．垂心 分析：如图所示?abc，d、e分别为边bc、ac的中点.
?ab?ac?2ad
?op?oa?2?ad ?op?oa?ap ?ap?2?ad
bdc
?ap//ad
?点p的轨迹一定通过?abc的重心，即选c.
例2：（03全国理4）o是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点p
满足op?oa???，???0,??? ，则点p的轨迹一定通过?abc的（b）
a．外心b．内心c．重心d．垂心
分析：?
ac方向上的单位向量，
分别为ab、
?
ab?
ac平分?bac,
?点p的轨迹一定通过?abc的内心，即选b.
例3：o是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点p
满足
op?oa??ab?
ac，???0,??? ，则点p的轨迹一定通过?abc的
（）
a．外心b．内心c．重心d．垂心
分析：如图所示ad垂直bc，be垂直ac， d、e是垂足
. ?
?bc
?
?
=?
=0
?点p的轨迹一定通过?abc的垂心，即选d.
练习：
1．已知?abc三个顶点a、b、c及平面内一点p，满足pa?pb?pc?0，若实数?满足：ab?ac??ap，则?的值为（）
a．2b．
32
c．3d．6
2．若?abc的外接圆的圆心为o，半径为1，oa?ob?oc?0，则oa?ob?() a．
12
b．0c．1d．?
12
3．点o在?abc内部且满足oa?2ob?2oc?0，则?abc面积与凹四边形
aboc
面积之比是（） a．0b．
32
c．
54
d．
43
4．?abc的外接圆的圆心为o，若oh?oa?ob?oc，则h是?abc的（）
a．外心b．内心c．重心d．垂心
5．o是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，若oa
?bc?ob
?ca?oc?ab，则o是?abc的（）
a．外心b．内心c．重心d．垂心
oh?m(oa?ob?oc)，?abc的外接圆的圆心为o，6．两条边上的高的交点为h，
则实数m =
→→→→1abacabac→→→
7．（06陕西）已知非零向量ab与ac满足(+ )·bc=0 · = , 则
2→→→→|ab||ac||ab||ac|△abc为()
a．三边均不相等的三角形b．直角三角形 c．等腰非等边三角形d．等边三角形
8．已知?abc三个顶点a、b、c，若ab
?abc为（）
?ab?ac?ab?cb?bc?ca，则
a．等腰三角形b．等腰直角三角形
c．直角三角形d．既非等腰又非直角三角形 练习答案：c、d、c、d、d、1、d、c