《导数与函数的单调性》教学设计

教学目标

1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.

2.能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.

1．函数单调性与导数的关系

设函数f(x)在(a，b)内可导，f′(x)是f(x)的导函数，则

2．充分、必要条件与导数及函数单调性

(1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件．

(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件．

(3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，则f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充要条件．

(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．

(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接．

(3)函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或f′(x)<0)恒成立，“＝”不能少．必要时还需对“＝”进行检验．

1．(人教B版选择性必修第三册P107·T8(1)改编)函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间是()

A.2(1)B.，＋∞(1)C.2(1)D.2(1)∪，＋∞(1)

基础点 判断不含参函数的单调性或单调区间

1．(多选)下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )

A．y＝sin x B．y＝xexC．y＝x3＋xD．y＝ln x－x

确定函数单调区间的步骤

(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；

(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

重难点(一)判断含参函数的单调性

[典例]已知函数f(x)＝2x－x(a)－(a＋2)ln x(a∈R)．讨论函数f(x)的单调性．

(1)研究含参函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．

(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．

[针对训练]已知函数f(x)＝ax2－ln x－x，a≠0.试讨论函数f(x)的单调性．

重难点(二)根据函数的单调性求参数范围

[典例]已知函数f(x)＝ln x－2(1)ax2－2x.

(1)若函数f(x)存在单调递减区间，则a的取值范围为________；

(2)若函数f(x)在[1,4]上单调递减，则a的取值范围为________．

[方法技巧]求参数范围的常见类型和解题技巧

涉及含参函数单调性问题时找不到分类讨论界点

1．(由二次项系数引起的分类讨论)设函数f(x)＝ax－x(b)＋ln x，且f(1)＝0.若函数f(x)在定义域上是单调函数，则实数a的取值范围是________．

若导函数f′(x)解析式的局部可构造成二次项系数含有参数的二次型函数，则必须讨论二次项系数，往往分为系数为零、系数为正、系数为负三类，再判断f′(x)的符号或确定f′(x)的零点，从而实现解题目标．

2．(由区间的包含关系引起的分类讨论)已知函数f(x)＝2ln x＋x2－5x在区间，k(1)上为单调函数，则实数k的取值范围是________．

对于已知f(x)在某个待定区间上的单调性，要确定此单调区间中参数的取值范围问题，必须先求函数f(x)在定义域上的单调区间，再按待定区间是每个单调区间的子区间分类讨论，列出相应的不等式(组)，获得参数的取值范围．

3．(由f′(x)的零点引起的分类讨论)已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a，b∈R，a<0)，其图象在点(1，f(1))处的切线平行于x轴．试讨论函数f(x)在定义域上的单调性．

一般地，当f′(x)有不止一个零点且零点大小关系无法确定时，就无法确定f′(x)>0或f′(x)<0的解集，进而无法确定函数f(x)的单调区间，此时必须对零点的大小关系分类讨论．若f′(x)有两个零点x1，x2，往往分成x1>x2，x1＝x2，x1<x2三类讨论，由此实现解题目标．

4．(由函数定义域引起的分类讨论)设函数f(x)＝x＋a(1)＋2ln x，其中a∈R且a≠0.试讨论函数f(x)的单调性．

一般地，需要讨论导函数f′(x)的零点是否含在定义域内，零点将定义域划分为哪几个区间，若不能确定，则需要进行分类讨论．